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设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的动直线l交抛物线C于A(...
解:(1)设直线l的方程为x=ay+p2,代入y2=2px,可得y2-2pay-p2=0(*),
由于A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l与抛物线的两交点,
故y1,y2是方程(*)的两个实根,
∴y1y2=-p2,又y1y2=-4,所以-p2=-4,又p>0,可得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)可知y1+y2=2pa=4a,
设点D是线段AB的中点,则有yD=y1+y22=2a,xD=ayD+p2=2a2+1,
由题意知点D在直线2x+3y=0上,
∴2(2a2+1)+6a=0,解得a=-1或-12,
设直线l的倾斜角为α,则tanα=1a=-1或-2,又α∈[0,π),
故直线l的倾斜角为34π或π-arctan2.
(3)k0=yMxM-1=yM-2=1,可得yM=-2,
由(1)知y1+y2=4a,又y1y2=-4,
∴k1+k2=y1+2x1+1+y2+2x2+1=y1+2ay1+2+y2+2ay2+2=2ay1y2+2a(y1+y2)+2(y1+y2)+8a2y1y2+2a(y1+y2)+4=-8a+8a2+8a+8-4a2+8a2+4=8(a2+1)4(a2+1)=2,
所以k1+k2为定值.
为什么抛物线过焦点斜率不为0?
过抛物线y=2px的焦点的直线的性质, 当直线的斜率不为零,则直线被抛物线所截的弦长为弦的两段点横坐标加p
已知过点(2,0)的直线l1交抛物线c k1+k2
C:y^2=2px
A(2pa^2,2pa),B(2pb^2,2pb)
k(AB)=1/(a+b)=(2pa)/(2pa^2-2)
pab=-1......(1)
k1=k(QA)=(2pa/(2pa^2+2)=pa/(1+pa^2),k2=k(QB)=pb/(1+pb^2)
k1+k2=pa/(1+pa^2)+pb/(1+pb^2)=(a+b)(p-1)/(2+pa^2+pb^2)
条件不够